Ciao,
prima di tutto dovresti cercare di capire come è messo il legno delle persiane stesse, prendendo in considerazione il fatto che dici essere di tua nonna, non vorrei che la casa abbia già i suoi annetti e che le persiane siano ancora quelle originali.
Il problema è che se non sono mai stati fatti lavori di manutenzione sulle persiane in legno, metterci mano ora sarebbe abbastanza inutile, nel senso che il legno potrebbe essere marcito a causa delle condizioni climatiche di pioggia, sole, freddo, caldo, ecc...
Quindi, ti consiglio prima di tutto di verificare se vale la pena rimetterle a posto, o se oppure conviene valutare di fare l'investimento di sostituirle con un paio nuove, in pvc o in alluminio che hanno sicuramente una maggior resistenza nel tempo.

Detto questo, se invece decidi di mantenere le persiane esistenti, ti consiglio prima di tutto di scrostarle/carteggiarle completamente cercando di togliere tutta la vernice vecchia, praticamente dovresti avere il legno della persiana al suo stato "grezzo", raggiunto questo stato, dovresti acquistare un prodotto chiamato "Flatting" (si tratta di una vernice trasparente che ha la funzione di proteggere il legno) e applicarlo sopra in modo che il legno lo assorba per bene.
Quando il flatting ha terminato di asciugarsi, devi prendere la vernice (occhio che devi mantenere il colore delle altre persiane del palazzo) e gli dai due mani così da garantirti un buon risultato.

Ricordati che dovresti dare una passata di vernice ogni uno o due anni per mantenere tutto in ordine ed evitarti lavoracci come quello che ti ho appena descritto.

Ciao